Modelo de Streeter-Phelps – Autodepuração de Rios

Princípio Físico-Biológico – Autodepuração

A ideia básica sobre esse modelo é que existem dois fenômenos conflitantes na geração e consumo de oxigênio dissolvido e de DBO.

Primeiro, os microrganismos presentes na água precisam de oxigênio dissolvido para consumir a matéria orgânica lá presente.

Assim, quanto maior o oxigênio dissolvido, maior a taxa de consumo de microorganismos e, portanto, maior vai ser a redução da DBO.

Isso implica que, se introduzirmos mais oxigênio na água, daremos uma maior oportunidade de reduzir a carga de DBO pois haverá menos competição por OD.

Num cenário oposto de ausência de OD e alta carga de DBO (e.g., eutrofização), a competição alta pelo OD faz com que sua taxa decaia rapidamente, eventualmente chegando inclusive a valores negativos.

Nesses casos, o modelo de Streeter-Phelps já não funciona.

Modelo Diferencial

A equação da continuidade molar é geralmente usada para expressar a taxa de variação da concentração de uma determinada informação ao longo do espaço, nas dimensões x, y, z, de modo que:

$$
\frac{\partial(C u)}{\partial x}+\frac{\partial(C v)}{\partial y}+\frac{\partial(C w)}{\partial z}-r=-\frac{d C}{d t} \tag{1}
$$

Onde $u$, $v$, e $w$ são as velocidades nos eixos $x$, $y$ e $z$. A variável $r$ é a taxa de reação ou taxa de geração da informação e tipicamente é assumida como uma reação de primeira ordem.

Dessa maneira, podemos aplicar a equação anterior tanto para oxigênio dissolvido $OD$ quanto para a $DBO$ última ($L$), resultando em:

$$
\frac{\partial(O D \cdot u)}{\partial x}+\frac{\partial(O D \cdot v)}{\partial y}+\frac{\partial(O D \cdot w)}{\partial z}-r_{O D}=-\frac{d O D}{d t} \tag{2} \label{equ:OD1}
$$
$$
\frac{\partial(L u)}{\partial x}+\frac{\partial(L v)}{\partial y}+\frac{\partial(L w)}{\partial z}-r_L=-\frac{d L}{d t} \tag{3} \label{equ:OD2}
$$

Finalmente, assumindo taxas de reação de primeira ordem tanto para $L$ quanto para $OD$, temos que:

Onde $C_s$ é a concentração de saturação de oxigênio, que depende tanto da altitude quanto da temperatura. 

Abaixo temos uma tabela tirada do Von Sperling que relaciona essa variável com a altitude e temperatura.

A solução da continuidade molar nas 3 dimensões pode ser demasiadamente complexa e, no caso de rios, geralmente não é utilizada.

De fato, em rios onde o escoamento 2-D ou 3-D é governante, modelos mais completos deveriam ser usados. 

No entanto, rios são um exemplo em que soluções 1-D são razoáveis e esse será o foco desse texto daqui para frente.

Solução Analítica – Caso 1-D Permanente:

Autodepuração

O caso de regime permanente assume que a velocidade permanece constante ao longo de todos os sub-trechos do rio.

Imagine que temos um rio de comprimento $L$ e o dividimos em intervalos discretos de tamanho $\Delta x$

Onde $Q_r$, $L_r$, $OD_r$ são as propriedades de entrada do rio e $Q_e$, $L_e$, $OD_e$ são as propriedades do lançamento de efluente.

Vamos desprezar nessa etapa o lançamento de efluentes ao longo dos trechos, de modo que apenas o lançamento na entrada da seção 1 é considerado no cálculo da autodepuração.

Desse modo, temos $N_x = L \Delta x + 1$, onde $N_x$ é o número de nós ou seções de rio.

Vamos resolver as equações para cada um desses pontos no espaço e no tempo.

Porém, como o regime é permanente, o tempo é uma combinação linear do espaço, de modo que $t = u.x$, onde $x$ é a coordenada da seção.

Assim, resolver para $t$ ou para $x$ é equivalente, isto é, basta substituirmos $t = x.u$ nas equações de Steeter-Phelps. 

O primeiro passo é simplificar as Eqs. \eqref{equ:OD1} e \eqref{equ:OD2} para o caso 1-D ao longo $x$, resultando em:

Essa equação tem solução analítica dada por:

Agora, precisamos resolver a equação do oxigênio dissolvido, que tem a seguinte solução

Onde $D(x) = C_s – OD(x)$.

Perceba que essas equações só são válidas com um único lançamento e que o eixo $x$ é orientado começando exatamente no ponto de lançamento.

Em casos com mais lançamentos, precisamos trocar o sistema de referências. Isso é fundamental para o correto uso das equações em casos de vários lançamentos.

Exemplo 1) 

Qual a DBO última e a concentração de oxigênio dissolvido a $300~km$ de um rio que tem concentrações de $OD$, $DBO_5$ e Vazão de 7 $mg/L$, 10 $mg/L$ e 0.5 $m^3/s$.

Além disso, utilize um intervalo de disrectização de 1000 m.

Esse rio sofre um lançamento pontual na entrada da seção com $OD$, $DBO_5$ e Vazão de 0 $mg/L$, 300 $mg/L$ e 0.1 $m^3/s$.

A temperatura do rio e sua altitude média são de $25~C^{\circ}$ e $1000~m$, respectivamente, resultando em $C_s = 7.5~mg/L$.

Assuma também $K_1 = 0.48/dia$ e $K_2 = 4/dia$, ambos a $20~C^{\circ}$.

Solução:

Antes de resolvermos as equações analíticas do modelo de Streeter-Phelps, precisamos primeiro corrigir $K_1$ e $K_2$ para a temperatura de $25~C^{\circ}$. Desse modo, corrigimos ambos com:

$$
\begin{aligned}
& K_{1, T}=K_{1,20} \theta_1^{T-20} \\
& K_{2, T}=K_{2,20} \theta_2^{T-20}
\end{aligned}
$$

Onde $\theta_1 = 1.047$ e $\theta_2 = 1.024$, resultando em $K_{1,25} = 0.60$ e $K_{2,25} = 4.5$.

Agora precisamos calcular as concentrações de mistura. Essa etapa consiste em calcularmos médias ponderadas em função da vazão.

Assim, a vazão total $Q_{tot} = 0.5 + 0.1 = 0.6~m^3/s$, $L_{5,mix} = 58.33~mg/L$ e $OD_{mix} = 5.83~mg/L$.

No entanto, precisamos corrigir entre o valor da $DBO_5$ para a $DBO_u$, fazendo:

$$
K_T=\frac{1}{1-\exp \left(-5 K_1\right)}=\frac{L_0}{L_{5, \text { mix }}}=\frac{D B O_5}{D B O_u} \Rightarrow L_0=L_{5, \text { mix }} K_T \tag{9}
$$

Portanto, o $OD$ e a $L_u$ em 300 km são de $7.35~mg/L$ e $0.96~mg/L$. Já o valor mínimo de OD foi de 1.35 mg/L e ocorreu  à 1.35 km do lançamento.

Solução Numérica – Caso 1-D Quasi-Permanente

Um dos maiores problemas encontrados nas modelagens simples como mostradas anteriormente é assumir que apenas 1 lançamento irá ocorrer no cálculo de autodepuração de rios.

Na verdade, as equações de Streeter-Phelps só são válidas no caso homogêneo de lançamento único.

Na prática, isso pode não acontecer, especialmente em rios maiores com vários lançamentos.

Desse modo, precisamos resolver as equações numericamente, ao invés de analiticamente.

Em outras palavras, ao invés de resolver a equação no domínio do tempo, resolvemos elas no domínio do espaço, discretizando-a no espaço.

Para isso, vamos imaginar há vários  $n$ lançamentos em posições conhecidas $\mathbf x_{ref}$ tal que $\mathbf x_l = [x_{ref,1}, x_{ref,2}, \dots x_{ref,n}]^\mathrm T$.

No entanto, como mencionado anteriormente, as equações de Streeter-Phelps só são válidas para trechos homogêneos com 1 lançamento e com o eixo x local orientado a partir da coordenada desse lançamento.

Assim, vamos definir essa coordenada relativa $x_*^i = x – x_{ref,i}$ para todos os lançamentos de $i = 1$ a $ i = n$.

Além disso, caso as velocidades mudem (i.e., vão mudar se o regime for quasi-permanente), $K_2$, pode ser calculado pelos métodos de O’CONNOR e DOBBINS, OWENS et al. e CHURCHILL et al.

Finalmente, podemos escrever uma equação que vale para cada coordenada x mas que leva em conta os eixos locais de cada lançamento, de modo que:

$$
D_t\left(x^*\right)=\frac{K_1 L_0\left(x_{r e f}\right)}{K_2-K_1}\left[\exp \left(-K_1 \frac{x^*}{u}\right)-\exp \left(-K_2 \frac{x^*}{u}\right)\right]+D_0\left(x_{r e f}\right) \exp \left(-K_2 \frac{x^*}{u}\right) \tag{10}
$$