Distribuição de Gumbel – Hidrologia Estatística

Fundamentação da Distribuição de Gumbel

A distribuição de Gumbel é usualmente aplicada a valores extremos com coeficiente de assimetria positivo.

Ela basicamente leva em conta dois dados de entrada: o desvio padrão e a média.

A distribuição Gumbel pode ser descrita pelas seguintes relações:

$$\mathrm{Prob}(x \leq x_m) = \mathrm{e}^{-\mathrm{e}^{-b}}$$

onde $b$ é um parâmetro da disrtibuição de Gumbel que vamos discutir logo adiante.

De maneira análoga a equação anterior, podemos dizer que:

$$\mathrm{Prob}(x \geq x_m) = 1 – \mathrm{Prob}(x \leq x_m)$$

onde agora expressamos a probabilidade de um evento superar ou igualar o valor de $x_m$.

O parâmetro $b$ depende das propriedades da amostra. Em particular, depende da média $\bar{x}$ e do desvio padrão $s$, e é dado como:

$$b = \frac{1}{0.7797s}(x – \bar{x} + 0.45 s) \tag{1}$$

Se usarmos a relação que:

$$ \mathrm{TR} = \frac{1}{\mathrm{Prob}(x \geq x_m)} \tag{2}$$

podemos aplicar a primeira equação e isolar a variável aleatória $x$, de modo que:

$$x = \bar{x} – s(0.45 + 0.7797 \mathrm{ln} \Bigl[\mathrm{ln}\Bigr(\frac{\mathrm{TR}}{\mathrm{TR}-1} \Bigl) \Bigr]) \tag{3}$$

Perceba que a equação anterior nos dá, para qualquer valor de $x$ (i.e., 100 mm se for chuva ou 200 $\mathrm{m^3/s}$ se for vazão, por ex), em função do tempo de retorno e da característica da amostra, isto é, seu desvio padrão e média.

Exemplo 1)

Dada a série de precipitações $\mathbf{P} = [100,~120,~200,~150,~160,~175,~155,~170,~165,~190,~175,~200]^T$, determine o valor esperado de precipitações máximas para um tempo de retorno de 10 anos.

Solução:

Calculando a média e o desvio padrão chegamos em 163.33 mm e 29.9 mm.

Agora, basta ordenar os dados e montar uma tabela em que consigamos determinar o valor de $b$ para cada valor de $x$.

Coloquemos:

Col 1  – Ordenação de 1 a 12, representando os 12 maiores valores da série.

Col 2 – Valores ordenados da variável aleatória começando do maior para o menor

Col3 – Valor de b calculado por $b = \frac{1}{0.7797s}(x – \bar{x} + 0.45 s)$

Col 4 – Valor da probablidade de excedência $\mathrm{Prob}(x \geq x_m)$

Col 5 – Tempo de retorno associado calculador por $\mathrm{TR} = \frac{1}{\mathrm{Prob}(x \geq x_m)}$.

A aplicação dessa tabela pode ser vista abaixo:

Histograma de Frequências

Perceba que há, aparentemente, um deslocamento da séria para valores extremos.

Finalmente, se formos calcular o valor da chuva para qualquer tempo de retorno, é só calcular $b$ para o valor da variável $x$, calcular a probabilidade de excedência e depois resolver $ \mathrm{TR} = \frac{1}{\mathrm{Prob}(x \geq x_m)}$.

O processo inverso também vale. Dado um tempo de retorno $\mathrm{TR}$, a probabilidade excedência, depois o valor de $b$ e por último o valor de $x$.

No caso de 10 anos, o resultado 202.4 mm

O mesmo processo vale para qualquer valor de precipitação.

Exemplo 2)

Ajuste uma distribuição de probabilidades tipo Gumbel para a seguinte série de precipitações máximas anuais, já classificadas do maior para o menor valor:

Para resolvermos o problema basta calcular $b$ para cada valor de precipitação observada. Para isso, primeiro precisamos calcular a média (82.309 mm) e o desvio padrão (22.5 mm) da amostra e depois calcular as probabilidades de excedência para cada valor observado.

Além disso, podemos obter uma relação geral que nos fornece, para cada tempo de retorno, o valor de precipitação, de modo que:

$$P = \bar{P} – s(0.45 + 0.7797 \mathrm{ln} \Bigl[\mathrm{ln}\Bigr(\frac{\mathrm{TR}}{\mathrm{TR}-1} \Bigl) \Bigr])  $$

Aplicando os valores:

$$P(\mathrm{TR}) = 82.309 – 22.5(0.45 + 0.7797 \mathrm{ln} \Bigl[\mathrm{ln}\Bigr(\frac{\mathrm{TR}}{\mathrm{TR}-1} \Bigl) \Bigr])  $$

Conclusão

É relativamente fácil ajustar um modelo de distribuição de probabilidade de valores extremos, tipo Gumbel.

Mas a pergunta que fica é:

Como saber se o método de Gumbel se ajusta de fato a essa série de precipitações?

Vamos aprender isso nos próximos artigos na hora de fazer os Testes de Aderência.