Equação de Richards – Fluxo não-saturado

Lorenzo Richards, um físico de solo americano, foi um dos 20 mais influentes físicos de solo do mundo no século passado.

Durante muito tempo foi pesquisador na University of California, Riverside, onde outros pesquisadores influentes como Martinus Van Genutchen e mais recentemente Jirka Simunek fizeram carreira como pesquisadores no campo de física do solo.

Richards (1904 – 1993), em sua tese de doutorado, expandiu a equação de Darcy, que é valida para regime permanente e com fluxo saturado, para o caso de escoamento transiente e não-saturado.

Na região vadosa, isto é, nas camadas mais superficiais do solo, há uma grande quantidade de ar, o que faz com que o escoamento não seja majoritariamente saturado.

Há aí, portanto, uma primeira evidência de que se era necessário ter um parâmetro novo: A condutibilidade hidráulica não-saturada, de modo que ela considerasse a perda de contato efetivo do fluido com o interstício do solo, uma vez que o ar ocuparia parte desse volume.

A formulação que Richards propôs é a base mais moderna da modelagem de escoamentos em meios porosos até os dias de hoje e, nesse artigo, vamos entender um pouco mais como ele chegou em sua famosa equação.

Introdução

O ponto de base aqui é o experimento de Darcy, que você pode primeiro acompanhar mais em detalhes vendo esse artigo abaixo:

Lei de Darcy

A formulação básica de Darcy é:

$$ q = – k_{\mathrm{sat}} \Big( \frac{\partial h}{\partial z} \Bigr) $$

onde $k_{\mathrm{sat}}$ é a condutibilidade hidráulica saturda e $ \Big( \frac{\partial h}{\partial z} \Bigr) $ é o gradiente de pressão.

Richards percebeu que na zona vadosa, muito ar era presente e a hipótese de que o fator de proporcionalidade fosse igual à condutibilidade hidráulica saturada não era tão representativa.

Para isso, ele propusera que na região não-saturada, uma nova condutibilidade agora era presente, isto é, a condutibilidade hidráulica não-saturada $k$.

Richards percebeu que essa variável era função do conteúdo de umidade do solo, de modo que se o solo estivesse totalmente úmido ela seria igual a condutibilidade hidráulica saturada. O que faz todo sentido por que essa é a definição de condutibilidade hidráulica saturada.

Já nos casos onde o solo tem menos umidade que a umidade de saturação, essa condutibilidade é, portanto, reduzida, de modo que agora:

$$ k = f(\theta),~k = k_{\mathrm{sat}},~\mathrm{Se~} \theta = \theta_{\mathrm{sat}}$$

No meio poroso, em casos não-saturados, as moléculas de água são atraídas pelas partículas do meio poroso por forças eletrostáticas e ligações polares entre a água e o meio poroso. Assim, uma força de sucção $\psi$, que varia com a umidade do solo, pode ser usada para representar o gradiente de pressão de modo que:

$$ q = k(\theta) \Bigl ( \frac{\partial (\psi(\theta) + z)}{\partial z} \Bigr )$$

Usando a regra da cadeia:

$$\frac{\partial \psi}{\partial z}=\frac{d \psi}{d \theta} \frac{\partial \theta}{\partial z}$$

E aplicando na equação do fluxo:

$$
q=-k(\theta)\left(\frac{\partial \psi}{\partial z}+\frac{\partial z}{\partial z}\right)=-k(\theta)\left(\frac{d \psi}{d \theta} \frac{\partial \theta}{\partial z}+1\right)=-\left(k(\theta) \frac{d \psi}{d \theta} \frac{\partial \theta}{\partial z}+k(\theta)\right)
$$

A difusividade é a razão entre a condutividade hidráulica com a capacidade do solo, de modo que:

$$ D = k(\theta) = \frac{d \psi}{d \theta}$$

Retornando na lei na formulação anterior:

$$ q = -\Bigl(D \frac{\partial \theta}{\partial z} + k(\theta)\Bigr)$$

Finalmente, a equação de continuidade de uma parcela de solo, na direção  vertical, é:

$$ \frac{\partial \theta}{\partial t} + \frac{\partial q}{\partial z} = 0$$

E substituindo o fluxo $q$ calculado anteriormente, na equação de conservação de massa, chegamos na famosa equação de Richards:

$$
\frac{\partial \theta}{\partial t}=-\frac{\partial q}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\left(D \frac{\partial \theta}{\partial z}+k(\theta)\right)
$$

Essa é uma das equações mais importantes na física do solo. No entanto, para resolvê-la era necessário ter uma função contínua e diferenciável que relacionasse a condutibilidade hidráulica com a umidade e com a pressão.

Essa história de como isso foi resolvido é cena para os próximos capítulos, mas já adianto que vêm de seu colega – Martinus Van Genutchen, que coincidentemente hoje reside no Brasil e esteve em São Carlos, na Embraba, no final do ano de 2023.