Evapotranspiração por Penman-Monteith: A peça final do quebra cabeça

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Evapotranspiração por Penman-Monteith: A peça final do quebra cabeça

A superfície já tem energia (R_n) e o ar tem apetite por vapor (VPD). O quanto disso vira evaporação depende de duas “cancelas”: (i) a aerodinâmica entre a superfície e o ar (mistura turbulenta) e (ii) a biologia do dossel (abertura dos estômatos). Isso aparece como resistências. Se abrimos as duas cancelas (r_a e r_s baixas), a água flui; se fechamos, a evaporação cai.

1. Penman–Monteith com resistências

A versão geral para superfície vegetada é:

$$
\lambda E \;=\;
\frac{\Delta\,(R_n – G)\;+\;\rho\,c_p\,\dfrac{\mathrm{VPD}}{r_a}}
{\Delta \;+\; \gamma\left(1+\dfrac{r_s}{r_a}\right)}
\quad\left[\mathrm{W\,m^{-2}}\right]
$$

• $\Delta$ [kPa °C^-1] — inclinação da curva de saturação; $\gamma$ [kPa °C^-1] — psicrométrica.
• $\rho c_p$ — calor específico do ar úmido [J m^-3 K^-1]; VPD = $e^*(T_a)-e_a$ [kPa].
• $r_a$ — resistência aerodinâmica superfície→ar [s m^-1]; $r_s$ — resistência da superfície/estomatal [s m^-1] (depois tratamos por folha/copa).

Leitura física: o numerador soma energia (termo de equilíbrio) e poder de secagem do ar (termo aerodinâmico). O denominador freia a troca: mais r_a ou r_s ⇒ menor $\lambda E$.

2. r_a pela teoria de perfis logarítmicos

Em condições neutras e superfície horizontalmente homogênea, a resistência aerodinâmica entre a altura de medida e a “fuente” é

$$
r_a \;=\;
\frac{1}{k^2\,u(z_u)}\;
\ln\!\frac{z_u – d}{z_{0m}}\;
\ln\!\frac{z_t – d}{z_{0h}}
\quad\left[\mathrm{s\,m^{-1}}\right]
$$

• $k\!\approx\!0{,}4$ (von Kármán), $u(z_u)$ velocidade do vento na altura $z_u$.
• $d$ — zero-plane displacement (≈ 2/3 da altura do dossel).
• $z_{0m}$ e $z_{0h}$ — comprimentos de rugosidade para momento e calor/vapor (tipicamente $z_{0h}\!\approx\!0{,}1\,z_{0m}$ para cultivos baixos; para florestas, $kB^{-1}=\ln(z_{0m}/z_{0h})$ pode ser 5–10).

Com correções de estabilidade (Monin–Obukhov), substitui-se os logaritmos por $\ln(\cdot)-\psi(\zeta)$, mas o princípio é o mesmo: mais rugosidade (maior $z_{0m}$) ou mais vento ⇒ menor r_a.

Atalho FAO-56 (referência “gramado” a 2 m)

Para a cultura de referência (altura do dossel $h\!\approx\!0{,}12$ m; $d\!=\!2h/3$; $z_{0m}\!=\!0{,}123h$; $z_{0h}\!\approx\!0{,}1z_{0m}$) e medidas padronizadas em $z_u=z_t=2$ m, a expressão acima se reduz a:

$$
r_a \;\approx\; \frac{208}{u_2}
\quad\left[\mathrm{s\,m^{-1}}\right]
$$

onde $u_2$ é o vento a 2 m [m s^-1]. Útil para ET₀ (FAO-56).

3. r_s (folha) e r_c (dossel)

Na folha, a passagem do vapor pelo poro estomatal tem uma resistência estomatal $r_{s,\mathrm{leaf}}$ (s m^-1). Para o dossel, usamos a resistência de superfície (ou da copa) $r_c$ que agrega todas as folhas “ativas”. Conceito padrão:

$$
r_c \;=\; \frac{r_{s,\min}}{f_R(R_s)\;f_D(\mathrm{VPD})\;f_\theta(\theta)\;f_T(T)}
\;\;\;\text{e}\;\;\;
r_c \;\approx\; \frac{r_{s,\mathrm{leaf}}}{\mathrm{LAI}_{\mathrm{eff}}}
$$

• $r_{s,\min}$ — resistência mínima (bem irrigado, luz alta).
• $f_R, f_D, f_\theta, f_T \in [0,1]$ — fatores de Jarvis (radiação, VPD, umidade do solo, temperatura).
• $\mathrm{LAI}_{\mathrm{eff}}$ — área foliar efetiva (porções iluminadas/ativas).

Formas simples e estáveis para campo:

$$
f_R(R_s)=\frac{R_s}{R_s + R_{50}},
\qquad
f_D(\mathrm{VPD})=\frac{1}{1+\mathrm{VPD}/D_0}
$$

$$
f_\theta(\theta)=\mathrm{clip}\!\left(\frac{\theta-\theta_w}{\theta_{fc}-\theta_w},\,0,\,1\right),
\qquad
f_T(T)=\mathrm{clip}\!\left(1 – \left(\frac{T-T_{\mathrm{opt}}}{b_T}\right)^2,\,0,\,1\right)
$$

• Parâmetros típicos: $R_{50}\!\sim\!100$–200 W m^-2, $D_0\!\sim\!1$–2 kPa, $T_{\mathrm{opt}}\!\sim\!20$–30 °C.

Atalho FAO-56 (cultura de referência)

Para o gramado padrão bem irrigado, adota-se uma resistência de superfície fixa:

$$
r_c \;=\; 70\ \mathrm{s\,m^{-1}}
$$

Para culturas (ET_c), usa-se $r_c$ ajustado por LAI e estresse hídrico/luz via fatores do tipo Jarvis.

4. Resistência de camada limite (folha)

Muito perto da folha, antes de “entrar” na atmosfera turbulenta, há uma fina camada limite. Uma forma prática para folhas planas é

$$
r_{b,\mathrm{leaf}} \;\approx\; \frac{C}{\sqrt{\mathrm{Re}}}\;\mathrm{Sc}^{2/3}
\;\;\;\text{com}\;\;\;
\mathrm{Re}=\frac{u\,d}{\nu}
$$

• $d$ — diâmetro/espaçamento foliar; $u$ — vento local; $\nu$ — viscosidade cinemática do ar; Sc — número de Schmidt (~0,6–0,7 para vapor).
• Em dosséis densos, $r_{b}$ é pequeno frente a $r_s$ e costuma ser embutido em $r_a$ ou em ajustes de $r_c$.

5. Como usar (roteiro de campo)

1. Dados micromet: $u_2$ (ou perfil), $T_a$, $e_a$ (ou UR), radiação de onda curta/longa para $R_n$, fluxo no solo $G$.
2. Escolha r_a: FAO-56 ($r_a=208/u_2$) para referência; ou perfil log com $z_0$, $d$ e (se possível) correções de estabilidade.
3. Escolha r_s/r_c: FAO-56 ($r_c\!=\!70$ s m^-1) para ET₀; ou modelo de Jarvis (radiação, VPD, água no solo, T) para cultura/bioma real.
4. Monte PM: calcule $\Delta$, $\gamma$, VPD, aplique a equação de Penman–Monteith.

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12) Exemplo numérico — do vento e VPD até λE

Cenário. Meio-dia, parcela de gramíneas curtas (referência FAO). Medidas a 2 m:

• Vento $u_2 = 2{,}0\ \mathrm{m\,s^{-1}}$.
• Ar $T_a = 25^\circ\mathrm{C}$, $\mathrm{RH}=50\%$.
• Radiação líquida $R_n = 500\ \mathrm{W\,m^{-2}}$; fluxo no solo $G = 50\ \mathrm{W\,m^{-2}}$ ⇒ $Q_{ne}=R_n-G=450\ \mathrm{W\,m^{-2}}$.

Passo 1 — Termodinâmica do vapor

Saturação (Tetens, $T$ em °C):

$$
e^*(25) = 0{,}6108\,\exp\!\left(\frac{17{,}27\cdot 25}{25+237{,}3}\right) = \mathbf{3{,}168\ \mathrm{kPa}}
$$

Vapor real ($\mathrm{RH}=50\%$) e déficit de pressão de vapor:

$$
e_a = 0{,}5\,e^* = \mathbf{1{,}584\ \mathrm{kPa}},
\qquad
\mathrm{VPD} = e^* – e_a = \mathbf{1{,}584\ \mathrm{kPa}} \;(\mathbf{1584\ \mathrm{Pa}})
$$

Inclinação da curva de saturação (kPa °C^-1) e psicrométrica:

$$
\Delta(25)=\frac{4098\,e^*(25)}{(25+237{,}3)^2}=\mathbf{0{,}189\ \mathrm{kPa\ ^\circ C^{-1}}}
\quad(\mathbf{189\ \mathrm{Pa\,K^{-1}}}),
\qquad
\gamma \approx \mathbf{0{,}066\ \mathrm{kPa\ ^\circ C^{-1}}}
\quad(\mathbf{66\ \mathrm{Pa\,K^{-1}}})
$$

Passo 2 — Resistência aerodinâmica r_a

Rota A (FAO-56, referência a 2 m):

$$
\boxed{\,r_a \;\approx\; \frac{208}{u_2} \;=\; \frac{208}{2{,}0} \;=\; \mathbf{104\ \mathrm{s\,m^{-1}}}\,}
$$

Rota B (perfil log neutro) — gramado: altura $h=0{,}12$ m, $d=2h/3=0{,}08$ m, $z_{0m}=0{,}123h=0{,}0148$ m, $z_{0h}\approx0{,}1z_{0m}=0{,}00148$ m; $z_u=z_t=2$ m; $k=0{,}41$; $u(z_u)=2$ m s^-1:

$$
\begin{aligned}
r_a &= \frac{1}{k^2\,u(z_u)}
\ln\!\frac{z_u-d}{z_{0m}}\;
\ln\!\frac{z_t-d}{z_{0h}} \\
&= \frac{1}{0{,}41^2\cdot 2}\;
\underbrace{\ln\!\frac{2-0{,}08}{0{,}0148}}_{\;4{,}868}\;
\underbrace{\ln\!\frac{2-0{,}08}{0{,}00148}}_{\;7{,}171}
= \mathbf{103{,}8\ \mathrm{s\,m^{-1}}}
\end{aligned}
$$

As duas rotas concordam (usaremos $r_a=\mathbf{104\ s\,m^{-1}}$).

Passo 3 — Resistência de superfície r_c (estomatal agregada)

Rota A (FAO-56 referência): $r_c=\mathbf{70\ \mathrm{s\,m^{-1}}}$.

Rota B (modelo de Jarvis, para mostrar mecanismo). Suponha:

• Folha “mínima” $r_{s,\mathrm{leaf(min)}} = 100\ \mathrm{s\,m^{-1}}$ e $\mathrm{LAI}_{\mathrm{eff}}=2$ ⇒ $r_{c,\min} = 100/2 = 50\ \mathrm{s\,m^{-1}}$.
• Fatores: $R_s=600\ \mathrm{W\,m^{-2}}$, $R_{50}=100$ ⇒ $f_R=\tfrac{600}{700}=0{,}857$;
• $D_0=1{,}5$ kPa ⇒ $f_D = \tfrac{1}{1+\mathrm{VPD}/D_0} = \tfrac{1}{1+1{,}584/1{,}5}=\mathbf{0{,}486}$;
• Umidade do solo: $f_\theta=\mathbf{0{,}70}$ (entre murcha e capacidade de campo).
• Temperatura: $f_T=\mathbf{0{,}95}$ (perto do ótimo).

Produto dos fatores: $f_R f_D f_\theta f_T = 0{,}857\times 0{,}486\times 0{,}70\times 0{,}95 = \mathbf{0{,}277}$.

$$
\boxed{\,r_c \;=\; \frac{r_{c,\min}}{f_R f_D f_\theta f_T} \;=\; \frac{50}{0{,}277} \;=\; \mathbf{180\ \mathrm{s\,m^{-1}}}\,}
$$

Leitura: VPD relativamente alto e solo não totalmente úmido ⇒ estômatos “fecham” e $r_c$ sobe (mais resistência que a FAO-56 de referência irrigada).

Passo 4 — Penman–Monteith (SI, em W m^-2)

Usamos $\rho c_p \approx 1{,}2\times 1004 = \mathbf{1205\ \mathrm{J\,m^{-3}\,K^{-1}}}$, $\mathrm{VPD}= \mathbf{1584\ \mathrm{Pa}}$, $\Delta=\mathbf{189\ \mathrm{Pa\,K^{-1}}}$, $\gamma=\mathbf{66\ \mathrm{Pa\,K^{-1}}}$ e $Q_{ne}=\mathbf{450\ \mathrm{W\,m^{-2}}}$.

Caso 1 — FAO-56 (rₐ=104, r_c=70):

$$
\lambda E \;=\;
\frac{\Delta\,Q_{ne} + \rho c_p\,\tfrac{\mathrm{VPD}}{r_a}}
{\Delta + \gamma\!\left(1+\tfrac{r_c}{r_a}\right)}
=
\frac{189\cdot 450 + 1205\cdot \tfrac{1584}{104}}
{189 + 66\!\left(1+\tfrac{70}{104}\right)}
=
\frac{\mathbf{85{,}050} + \mathbf{18{,}355}}{\mathbf{189} + \mathbf{66(1+0{,}673)}}
=
\frac{\mathbf{103{,}405}}{\mathbf{299}}
= \mathbf{345\ \mathrm{W\,m^{-2}}}
$$

Partição: $H \approx Q_{ne} – \lambda E = 450 – 345 = \mathbf{105\ \mathrm{W\,m^{-2}}}$.

Caso 2 — Jarvis (rₐ=104, r_c=180):

$$
\lambda E =
\frac{189\cdot 450 + 1205\cdot \tfrac{1584}{104}}
{189 + 66\!\left(1+\tfrac{180}{104}\right)}
=
\frac{\mathbf{103{,}405}}
{\mathbf{189} + \mathbf{66(1+1{,}731)}}
=
\frac{\mathbf{103{,}405}}{\mathbf{370}}
= \mathbf{280\ \mathrm{W\,m^{-2}}}
$$

Partição: $H \approx 450 – 280 = \mathbf{170\ \mathrm{W\,m^{-2}}}$.

Passo 5 — Taxa de evaporação (mm h^-1)

Com $\lambda \approx 2{,}454\times 10^6\ \mathrm{J\,kg^{-1}}$ e 1 mm ≡ 1 kg m^-2:

$$
E\;[\mathrm{mm\,h^{-1}}] = \frac{\lambda E\;[\mathrm{W\,m^{-2}}]}{\lambda}\times 3600
$$

• FAO-56: $E = \dfrac{345}{2{,}454\times 10^6}\times 3600 = \mathbf{0{,}51\ \mathrm{mm\,h^{-1}}}$.
• Jarvis: $E = \dfrac{280}{2{,}454\times 10^6}\times 3600 = \mathbf{0{,}41\ \mathrm{mm\,h^{-1}}}$.

Conclusão do exemplo

• As duas rotas de rₐ (FAO-56 e perfil log) coincidem: ~104 s m⁻¹ para $u_2=2$ m s⁻¹.
• r_c muda a história: referência irrigada (70 s m⁻¹) rende $\lambda E\!\approx\!345$ W m⁻², enquanto estresse moderado (Jarvis, 180 s m⁻¹) reduz para ~280 W m⁻².
• A partição $Q_{ne}=\lambda E + H$ responde: quando $r_c$ sobe (estômatos fechando), H aumenta e a superfície esquenta.

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Conclusões Gerais — balanço de energia, evaporação e evapotranspiração

A superfície transforma radiação líquida em fluxos de calor latente (λE), calor sensível (H) e calor no solo/água (G). O quanto vira vapor depende do apetite do ar (VPD) e de duas “cancelas”: a aerodinâmica (r_a) e a biológica/superfície (r_s ou r_c). Penman–Monteith organiza tudo em uma equação única, enquanto Priestley–Taylor define o limite úmido (pouca advecção), e EBBR fecha o balanço com perfis quando não há torres.

Aplicações (onde isso entra no seu projeto)

• Gestão hídrica e irrigação: estimativa de ET₀/ET_c diária para programação de lâmina; sensibilidade a vento/VPD e cobertura.
• Modelagem hidrológica: fechar o balanço em modelos de bacia (hsB–SM, Richards, LSMs) usando R_n e PM/PT como módulos de ET.
• Energia de superfície e clima local: partição λE–H para ilhas de calor, desenho urbano, LID/verde urbano.
• Ecologia/fluxos de carbono: λE modula abertura estomatal, fotossíntese e estresse hídrico em dosséis.
• Produtos de satélite (SEBAL/METRIC/ETWatch): estimam λE/H a partir de RST; precisam de ancoragem/validação em PM/torre.

Hipóteses que sustentam as formulações

• Homogeneidade horizontal na camada superficial (ASL) e fluxo vertical dominante (1-D) em janelas de 15–60 min.
• Quase-estacionariedade das médias (sem transientes fortes de nuvem/advecção).
• Estabilidade atmosférica tratada por correções de Monin–Obukhov ou assumida neutra (FAO-56).
• Rugosidade conhecida ($z_{0m}$, $z_{0h}$, deslocamento $d$) e alturas de medida definidas.
• Superfície representativa (fetch adequado) e albedo/emissividade razoavelmente constantes no período.

Onde moram as incertezas (e como reduzir)

• R_n e G: erros de sombreamento/nível no radiômetro e condutividade/fase no fluxo de solo → invista na instalação e em checagens de qualidade.
• r_a: escolha de $z_{0m}$, $z_{0h}$ e da estabilidade; fallback FAO é útil, mas perfis/log + MO são superiores se houver dados.
• r_c/r_s: grande variabilidade por espécie, LAI, solo e estresse; use Jarvis/Ball-Berry calibrados com medições locais (solo, radiação, VPD).
• Advecção: bordas/heterogeneidade quebram o 1-D; PM/PT tendem a errar se houver ar mais quente/seco advectando.
• Fechamento de energia em torres (λE+H < R_n−G): gap típico de 10–30%; documente e, se necessário, reescale por método consagrado.

Qual método usar? (regra prática)

Situação	Método recomendado	Observações
Referência irrigada (ET0)	FAO-56 PM (ra=208/u2, rc=70)	Padronizado, robusto para redes operacionais.
Cultura/bioma real com dados micromet	PM com ra por perfil log (+MO) e rc via Jarvis/Ball-Berry	Captura efeito de rugosidade, VPD e umidade do solo.
Área extensa úmida, pouca advecção	Priestley–Taylor (α≈1,26)	Limite úmido; bom baseline e controle de qualidade.
Sem torre, com perfis/fluxos radiativos	EBBR (Bowen) + Rn, G	Evitar janelas com Bo≈−1 e verificar estacionariedade.
Validação/diagnóstico de modelos e satélites	Eddy covariance (fluxos) + PM/PT	Usar filtros de qualidade e checar fechamento energético.

O que a teoria ainda deve (lacunas ativas)

• Heterogeneidade (mosaicos de uso do solo) e advecção 3-D acopladas a estimativas operacionais de ET.
• Acoplamento planta–solo–atmosfera dinâmico (fotosíntese ↔ estômatos ↔ hidráulica do xilema) sob estresse e ondas de calor.
• Rugosidade térmica ($z_{0h}$, kB⁻¹) em dosséis complexos e superfícies urbanas.
• Escalas (pixel de satélite ↔ parcela): métodos de “upscaling” e representatividade de torres.

Boas práticas (checklist rápido)

• Instale e calibre R_n (nível/sombra), meça G (ou modele com inércia térmica).
• Capte u, T, UR nas alturas corretas e documente $z_{0m}$, $z_{0h}$, $d$ e fetch.
• Escolha o fechamento coerente com a situação (tabela acima) e reporte incertezas.
• Quando possível, valide λE/H com torre (ou tanques) e avalie o fechamento energético.

Fecho. Com a sequência → atmosfera → superfície → r_a/r_c → λE,H,G, você tem um roteiro sólido para estimar e interpretar trocas de energia e água em qualquer parcela. O próximo passo natural é integrar essas rotinas ao seu pipeline (campo ↔ modelos ↔ satélite), sempre deixando claras as hipóteses e as margens de erro.