Cálculo de Redes Ramificadas

1 – Introdução

O cálculo de redes ramificadas leva em conta como as perdas de carga ocorrem em trechos lineares de tubulação

Geralmente o sistema hidráulico é submetido a uma condição de contorno de montante e jusante conhecida

Essa condição de contorno pode ser o nível d’água do reservatório que abastece a rede e também a pressão mínima disponível no trecho mais crítico da rede

De maneira geral, devemos garantir tanto critérios de pressão mínima (e.g., desse modo evitamos o mau funcionamento de dispositivos hidráulicos), bem como critérios de pressão máxima (e.g., redução de problemas de vazamento em tubulações)

2 – Métodos de Cálculo de Redes Ramificadas

A forma de cálculo de redes ramificadas é determinística caso saibamos as condições de contorno de montante e jusante.

Além disso, os cálculos são sequenciais e devem ser iniciados a partir do ponto mais à jusante da rede.

Perdas de carga podem ser estimadas utilizando-se equações fisicamente baseadas como a equação da fórmula universal, mas, ao mesmo tempo, também podemos usar fórmulas empíricas como as de Hazzen-Willians

2.1 – Equação da energia

Dado um trecho que sai de um ponto 1 para um ponto 2, a conservação da energia prediz que:

$$
\frac{P_1}{\gamma} + \frac{v_1^2}{2g} + z_1 = \frac{P_2}{\gamma} + \frac{v_2^2}{2g} + z_2 + \Delta H_{1-2} \tag{1}
$$

Onde $P$ é a pressão manométrica, $v$ é a velocidade média do escoamento, $z$ a cota de fundo da tubulação e $\Delta H$ a perda de carga no trecho.

A perda de carga, por sua vez, pode ser estimada em função do fator de atrito médio do trecho. Desse modo, podemos estimar a perda de carga distribuída como:

$$
J = \frac{\Delta H}{L} = \frac{f}{D} \frac{v^2}{2g} \tag{2}
$$

Onde $J$ é a perda de carga distribuída dada em mca / m de tubulação, ou expressa em m/m. As variáveis $v$ e $g$ representam a velocidade média do trecho e a aceleração da gravidade, ambas em unidades do sistema internacional de medidas.

2.2 – Vazões Fictícias

Há um problema na equação anterior.

A vazão em um determinado trecho não é constante.

Na verdade, cada ligação retira parte da vazão que passa em um trecho de tubulação, de modo que essa vazão é reduzida a cada lote, por exemplo.

Isso complicaria demasiadamente os cálculos caso tivéssemos que considerar cada ponto de ligação.

De modo a evitar isso, estimamos uma vazão em marcha, como se fosse uma vazão de retirada d’água a cada metro.

Em outras palavras, dado dois nós em uma rede, a diferença de vazão entre esses dois nós pode ser escrita da seguinte forma:

$$
Q_{i + 1} = Q_{i} – q_m.L_{i,i+1} \tag{3}
$$

Onde $q_m$ representa uma vazão em marcha com unidades de L/s/m ou m3/s/m representando teoricamente o quanto de vazão é retirado para lotes, edificações e pontos de tomada d’água nesse trecho.

Portanto, podemos dizer então que a vazão média (chamaremos de vazão fictícia) entre dois pontos é:

$Q_{fic} = \frac{Q_{montante} + Q_{jusante}}{2}~\text{Se } Q_{jusante}>0  \tag{4}$

$Q_{fic} = \frac{Q_{montante}}{\sqrt{3}}~\text{Se } Q_{jusante} = 0  \tag{5}$

Essa vazão fictícia é que de fato é utilizado para calcular o diâmetro da tubulação

2.3 – Diâmetros Mínimos

Os diâmetros mínimos de cada trecho de tubulação são naturalmente função do material a ser utilizado.

De maneira geral, velocidades máximas e vazões máximas são critérios para se selecionar o diâmetro de um determinado trecho

Assim, a tabela abaixo mostra a relação entre cada diâmetro nominal e sua vazão e velocidade máxima correspondente.

DN	Vmax [m/s]	Qmáx [L/s]
50	0.68	1.3
60	0.69	2.0
75	0.71	3.1
100	0.75	5.9
125	0.79	9.7
200	0.90	28.3
300	1.05	74.2
500	1.35	265.1

2.4 – Roteiro de Cálculo de Redes Ramificadas

1. Determinar todos os trechos, comprimentos de cada trecho e cotas de montante e jusante
2. Programar colunas onde são calculadas vazões de jusante, vazões marcha, vazões de montante e vazões fictícias. Lembrar de usar a equação certa para o caso que o ponto final é uma ponta seca (fim da rede)
3. Programar equação para se determinar o diâmetro da tubulação usando a tabela anterior, em função da velocidade
4. Calcular a perda de carda distribuída
5. Calcular a perda de carga no trecho
6. Determinar cotas piezométricas (e.g., $z + P/\gamma$) de montante e jusante
7. Calcular cargas de pressão subtraindo as cotas de elevação das cotas piezométricas
8. Repetir o processo para todos os trechos

O processo de cálculo é iterativo e, portanto só será resolvido quando todos os trechos forem preenchidos.

Um dos resultados mais importantes ao final do processo de cálculo é retornar qual foi a pressão mínima e máxima em toda rede.

Devemos garantir que todos os trechos de tubulação satisfaçam os critérios de pressões. Em tese, a única variável que podemos alterar seria a altura do reservatório de montante.

Mas ao pé da letra, podemos alterar também o material dos tubos, alterando-se o fator de atrito

2.5 – Determinação da Vazão de Projeto

Apesar de termos detalhado todo o processo de cálculo, ainda falta a determinação de um importante fator: a demanda de água

É esperado que a demanda de água de uma tubulação dependa da população atendida.

Além disso, quando fazemos os projetos de tubulações, devemos ter em mente que as tubulações devem suportar tanto variações diárias quando sazonais.

Isto é, durante o dia, a demanda por água muda, mas há um padrão e, portanto, há um pico. Esse pico é explicado pelo fator $k_1$.

Ademais, há também outro pico sazonal que geralmente acontece em períodos de verão e férias. Um novo fator é então adicionado, o fator $k_2$.

Juntos, $k_1$ e $k_2$ são aplicados a demanda média e então se é estimado a vazão de projeto que uma rede deve ter, de tal sorte que:

$$
Q_{projeto} = k_1 k_2 q_s.Pop \tag{6}
$$

Onde $q_s$ representa a vazão específica dada em m3/s/hab ou L/s/hab e $Pop$ é a população atendida.

É importante termos em mente a vida útil do projeto. Por exemplo, se o projeto é pressuposto a ter uma vida útil de 30 anos, devemos projetar a população para o horizonte de 30 anos.

Diversos métodos existem para essa estimativa, destacam-se os métodos aritméticos, exponenciais e curvas logísticas.

3 – Exemplo

3.1 – Definição do Problema

Determine a elevação mínima de um reservatório para garantir pressões mínimas de no mínimo 15 mca numa rede ramificada apresentada abaixo:

• A rede recebe água de uma adutora que leva essa água a um reservatório $R$.
• Esse reservatório distribuí água para os trechos 5, 4, 4-1, 3, 3-1, 3-2, 2, 2,1 e 1
• Cada trecho tem seu comprimento e suas cotas de montante e jusante.
• A população estimada para o horizonte de projeto é de 2900 habitantes e a vazão específica é de $\mathrm{150~L/hab/dia}$.
• Coeficientes $k_1$ e $k_2$ são de 1.25 e 1.5, respectivamente.
• O fator de atrito das tubulações é estimado em 0.026.

3.2 – Esquema da Tabela para Cálculo de Redes Ramificadas

A tabela abaixo mostra como pode ser organizado os cálculos de modo a possibilitar o cálculo da rede de maneira integrada

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Trecho	Comp.	Cota terreno (m)		Vazão (L/s)				Diâmetro	Vel.	J	Perda de Carga	Cota piez. (m)		Carga de pressão (mca)
		Mont.	Jus.	Jus.	Marcha	Mont.	Fictícia	mm	[m/s]	m/100m	m	Mont	Jusante	Mont	Jus

Dados de entrada são resumidos 

Devemos “chutar” a altura do reservatório de modo a estabelecer as condições de pressão mínima em todos os trechos.

O cálculo da vazão em marcha $q_m$ é feito fazendo-se a razão da vazão demandada pelo comprimento total das tubulações.

3.3 – Resultados do Dimensionamento

Primeiro vejamos como são organizados os resultados na planilha.

Os dados de entrada de cada nó da rede são organizados à esquerda, nos tópicos em vermelho.

Já os resultados de cálculo de pressões, vazões, cotas piezométricas e verificações são organizados à direita, como ilustra a figura abaixo.

Perceba também que nem todos os pontos recebem vazão em marcha. Assim, você tem a opção de selecionar quais são pontos com consumo e quais são pontos apenas de transporte de água.

Vamos inicialmente chutar a altura do reservatório em 10 metros e ver como seriam os resultados:

 

Perceba que alguns trechos falharam. Isso implica que, (i) ou mudamos as propriedades dos tubos (e.g., fatores de atrito) (ii) ou mudamos as condições iniciais de pressão no reservatório elevado.

Por simplicidade, mudemos a altura inicia d’água no reservatório para 16 m e refazer os cálculos.

Finalmente, você pode analisar os resultados visualmente através dos gráficos automáticos que são gerados na planilha, apresentados logo abaixo:

4 – Conclusões

O cálculo de redes ramificadas é iterativo e o sistema de equações, se resolvido à mão, pode ser relativamente trabalhoso.

Além disso, recomenda-se automatizar os cálculos para determinar condições ótimas para o nível do reservatório.

Redes ramificadas, no entanto, são quase que redes em série e podem estar mais submetidas a cenários de falha.

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