Distribuição de Gumbel – Hidrologia Estatística

Fundamentação da Distribuição de Gumbel

A distribuição de Gumbel é usualmente aplicada a valores extremos com coeficiente de assimetria positivo.

Ela basicamente leva em conta dois dados de entrada: o desvio padrão e a média.

A distribuição Gumbel pode ser descrita pelas seguintes relações:

$$\mathrm{Prob}(x \leq x_m) = \mathrm{e}^{-\mathrm{e}^{-b}}$$

onde $b$ é um parâmetro da disrtibuição de Gumbel que vamos discutir logo adiante.

De maneira análoga a equação anterior, podemos dizer que:

$$\mathrm{Prob}(x \geq x_m) = 1 – \mathrm{Prob}(x \leq x_m)$$

onde agora expressamos a probabilidade de um evento superar ou igualar o valor de $x_m$.

O parâmetro $b$ depende das propriedades da amostra. Em particular, depende da média $\bar{x}$ e do desvio padrão $s$, e é dado como:

$$b = \frac{1}{0.7797s}(x – \bar{x} + 0.45 s) \tag{1}$$

Se usarmos a relação que:

$$\mathrm{TR} = \frac{1}{\mathrm{Prob}(x \geq x_m)} \tag{2}$$

podemos aplicar a primeira equação e isolar a variável aleatória $x$, de modo que:

$$x = \bar{x} – s(0.45 + 0.7797 \mathrm{ln} \Bigl[\mathrm{ln}\Bigr(\frac{\mathrm{TR}}{\mathrm{TR}-1} \Bigl) \Bigr]) \tag{3}$$

Perceba que a equação anterior nos dá, para qualquer valor de $x$ (i.e., 100 mm se for chuva ou 200 $\mathrm{m^3/s}$ se for vazão, por ex), em função do tempo de retorno e da característica da amostra, isto é, seu desvio padrão e média.

Exemplo 1)

Dada a série de precipitações $\mathbf{P} = [100,~120,~200,~150,~160,~175,~155,~170,~165,~190,~175,~200]^T$, determine o valor esperado de precipitações máximas para um tempo de retorno de 10 anos.

Solução:

Calculando a média e o desvio padrão chegamos em 163.33 mm e 29.9 mm.

Agora, basta ordenar os dados e montar uma tabela em que consigamos determinar o valor de $b$ para cada valor de $x$.

Coloquemos:

Col 1  – Ordenação de 1 a 12, representando os 12 maiores valores da série.

Col 2 – Valores ordenados da variável aleatória começando do maior para o menor

Col3 – Valor de b calculado por $b = \frac{1}{0.7797s}(x – \bar{x} + 0.45 s)$

Col 4 – Valor da probablidade de excedência $\mathrm{Prob}(x \geq x_m)$

Col 5 – Tempo de retorno associado calculador por $\mathrm{TR} = \frac{1}{\mathrm{Prob}(x \geq x_m)}$.

A aplicação dessa tabela pode ser vista abaixo:

Ordenação	P (mm)	b	$P(x>= x_m)$	TR
1	200	2.15	0.11	9.07
2	200	2.15	0.11	9.07
3	190	1.72	0.16	6.09
4	175	1.08	0.29	3.46
5	175	1.08	0.29	3.46
6	170	0.86	0.34	2.90
7	165	0.65	0.41	2.46
8	160	0.43	0.48	2.10
9	155	0.22	0.55	1.81
10	150	0.01	0.63	1.59
11	120	-1.28	0.97	1.03
12	100	-2.14	1.00	1.00

Histograma de Frequências

Perceba que há, aparentemente, um deslocamento da séria para valores extremos.

 

Finalmente, se formos calcular o valor da chuva para qualquer tempo de retorno, é só calcular $b$ para o valor da variável $x$, calcular a probabilidade de excedência e depois resolver $\mathrm{TR} = \frac{1}{\mathrm{Prob}(x \geq x_m)}$.

O processo inverso também vale. Dado um tempo de retorno $\mathrm{TR}$, a probabilidade excedência, depois o valor de $b$ e por último o valor de $x$.

No caso de 10 anos, o resultado 202.4 mm

O mesmo processo vale para qualquer valor de precipitação.

Exemplo 2)

Ajuste uma distribuição de probabilidades tipo Gumbel para a seguinte série de precipitações máximas anuais, já classificadas do maior para o menor valor:

Precipitações Máximas Anuais (mm)
150.8
123.7
121.7
109
102.9
102.4
102.4
101.8
101.8
100
96.4
95.1
93.4
93.3
93
92.2
92.2
88.4
88.2
86
85.1
85
84
83.8
83.2
81.3
80.3
75.3
74
73.1
71.7
71.4
71.2
67.3
67.3
66.3
66.3
66.2
65.7
65.7
64.7
59.7
59.6
59.2
55.4
25.5
25.5

Para resolvermos o problema basta calcular $b$ para cada valor de precipitação observada. Para isso, primeiro precisamos calcular a média (82.309 mm) e o desvio padrão (22.5 mm) da amostra e depois calcular as probabilidades de excedência para cada valor observado.

Cálculo para os dados observados
Ordenação	P (mm)	b (Eq. 1)	$\mathrm{Prob}(x\leq x_m)$ (Eq. 2)	TR (Eq. 3)
1	150.8	4.47	0.01	88.16
2	123.7	2.93	0.05	19.27
3	121.7	2.82	0.06	17.25
4	109	2.10	0.12	8.64
5	102.9	1.75	0.16	6.26
6	102.4	1.72	0.16	6.10
7	102.4	1.72	0.16	6.10
8	101.8	1.69	0.17	5.91
9	101.8	1.69	0.17	5.91
10	100	1.58	0.19	5.39
11	96.4	1.38	0.22	4.49
12	95.1	1.30	0.24	4.21
13	93.4	1.21	0.26	3.87
14	93.3	1.20	0.26	3.85
15	93	1.19	0.26	3.80
16	92.2	1.14	0.27	3.65
17	92.2	1.14	0.27	3.65
18	88.4	0.92	0.33	3.05
19	88.2	0.91	0.33	3.02
20	86	0.79	0.37	2.73
21	85.1	0.74	0.38	2.63
22	85	0.73	0.38	2.62
23	84	0.67	0.40	2.50
24	83.8	0.66	0.40	2.48
25	83.2	0.63	0.41	2.42
26	81.3	0.52	0.45	2.23
27	80.3	0.46	0.47	2.14
28	75.3	0.18	0.57	1.76
29	74	0.10	0.59	1.68
30	73.1	0.05	0.61	1.63
31	71.7	-0.03	0.64	1.56
32	71.4	-0.04	0.65	1.54
33	71.2	-0.05	0.65	1.53
34	67.3	-0.28	0.73	1.37
35	67.3	-0.28	0.73	1.37
36	66.3	-0.33	0.75	1.33
37	66.3	-0.33	0.75	1.33
38	66.2	-0.34	0.75	1.33
39	65.7	-0.37	0.76	1.31
40	65.7	-0.37	0.76	1.31
41	64.7	-0.42	0.78	1.28
42	59.7	-0.71	0.87	1.15
43	59.6	-0.71	0.87	1.15
44	59.2	-0.74	0.88	1.14
45	55.4	-0.95	0.93	1.08
46	25.5	-2.65	1.00	1.00
47	25.5	-2.65	1.00	1.00

Além disso, podemos obter uma relação geral que nos fornece, para cada tempo de retorno, o valor de precipitação, de modo que:

$$P = \bar{P} – s(0.45 + 0.7797 \mathrm{ln} \Bigl[\mathrm{ln}\Bigr(\frac{\mathrm{TR}}{\mathrm{TR}-1} \Bigl) \Bigr])$$

Aplicando os valores:

$$P(\mathrm{TR}) = 82.309 – 22.5(0.45 + 0.7797 \mathrm{ln} \Bigl[\mathrm{ln}\Bigr(\frac{\mathrm{TR}}{\mathrm{TR}-1} \Bigl) \Bigr])$$

Conclusão

É relativamente fácil ajustar um modelo de distribuição de probabilidade de valores extremos, tipo Gumbel.

Mas a pergunta que fica é:

Como saber se o método de Gumbel se ajusta de fato a essa série de precipitações?

Vamos aprender isso nos próximos artigos na hora de fazer os Testes de Aderência.